Jeho snacha Beth Morganová uvedla, že herec podlehl zápalu plic. Poslední hodiny před smrtí strávil ve svém domě v kalifornském Brentwoodu.
Na filmovém plátně se Morgan objevoval většinou ve vedlejších rolích, například po boku Henryho Fondy, Johna Wayna, Jamese Garnera, Elvise Presleyho či Dana Akroyda. Objevil se například ve filmech Podporujte svého šerifa či Podporujte svého pistolníka.
Na televizní obrazovce se objevoval převážně v nepříliš výrazných vedlejších rolích, výjimkou byl part plukovníka Shermana Pottera, který velí nemocniční jednotce v seriálu M*A*S*H. Právě ten mu vynesl nejen slávu, ale i prestižní cenu Emmy.
“Byla to nejlepší role, jakou jsem kdy měl," prohlašoval o Potterovi Morgan. Natáčení poslední epizody svého milovaného seriálu také popsal jako smutnou a velmi bolestivou záležitost.
Morgan se narodil v Detroitu 10. dubna 1915 jako Harry Bratsburg do rodiny norských emigrantů. Původně plánoval, že se stane právníkem, nakonec ho však zlákalo herectví.
Na Broadwayi debutoval v roce 1937, k filmu poprvé přičichl díky kontraktu se studiem 20th Century Fox ve čtyřicátých letech. Tehdy také změnil rodné jméno Harry na "umělečtější" pseudonym Henry, který ale velmi záhy opustil - lidé si ho totiž pletli s tehdy populárním americkým moderátorem a humoristou stejného přízviska. Se svou první ženou Eileen Detchonovou měl čtyři děti, po její smrti se oženil ještě jednou.
